微积分学示例

$\int_{0}^{1} x (8 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

解题步骤 3.2

将 $x$ 和 $8$ 重新排序。

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

解题步骤 3.3

将 $x$ 和 $5$ 重新排序。

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{1} 8 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} 8 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.8

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.11

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

解题步骤 3.12

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

解题步骤 3.13

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 5

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 。

$8 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $x^{\frac{7}{3}}$ 。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 8

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{5}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ 。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{4}{9}$ 和 $x^{\frac{9}{4}}$ 。

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3

化简。

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解题步骤 10.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$8 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.3

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.5.1

约去公因数。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.5.2

重写表达式。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.7

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.8

约去 $0$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $7$ 。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.8.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.8.2.2

约去公因数。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.8.2.3

重写表达式。

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 (\frac{3}{7} - 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 (\frac{3}{7} + 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.10

将 $\frac{3}{7}$ 和 $0$ 相加。

$8 (\frac{3}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.11

组合 $8$ 和 $\frac{3}{7}$ 。

$\frac{8 \cdot 3}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.12

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.13

一的任意次幂都为一。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.14

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.15

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9})$

解题步骤 10.2.3.16

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

解题步骤 10.2.3.17

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.17.1

约去公因数。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

解题步骤 10.2.3.17.2

重写表达式。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9})$

解题步骤 10.2.3.18

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9})$

解题步骤 10.2.3.19

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9})$

解题步骤 10.2.3.20

约去 $0$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.20.1

从 $0$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9})$

解题步骤 10.2.3.20.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.20.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

解题步骤 10.2.3.20.2.2

约去公因数。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

解题步骤 10.2.3.20.2.3

重写表达式。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1})$

解题步骤 10.2.3.20.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - 0)$

解题步骤 10.2.3.21

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} + 0)$

解题步骤 10.2.3.22

将 $\frac{4}{9}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9})$

解题步骤 10.2.3.23

组合 $5$ 和 $\frac{4}{9}$ 。

$\frac{24}{7} + \frac{5 \cdot 4}{9}$

解题步骤 10.2.3.24

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24}{7} + \frac{20}{9}$

解题步骤 10.2.3.25

要将 $\frac{24}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9}$

解题步骤 10.2.3.26

要将 $\frac{20}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

解题步骤 10.2.3.27

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $63$ 的形式。

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解题步骤 10.2.3.27.1

将 $\frac{24}{7}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{24 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

解题步骤 10.2.3.27.2

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

解题步骤 10.2.3.27.3

将 $\frac{20}{9}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7}$

解题步骤 10.2.3.27.4

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{63}$

解题步骤 10.2.3.28

在公分母上合并分子。

$\frac{24 \cdot 9 + 20 \cdot 7}{63}$

解题步骤 10.2.3.29

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.29.1

将 $24$ 乘以 $9$ 。

$\frac{216 + 20 \cdot 7}{63}$

解题步骤 10.2.3.29.2

将 $20$ 乘以 $7$ 。

$\frac{216 + 140}{63}$

解题步骤 10.2.3.29.3

将 $216$ 和 $140$ 相加。

$\frac{356}{63}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{356}{63}$

小数形式：

$5.\overline{650793}$

带分数形式：

$5 \frac{41}{63}$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例