微积分学示例

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

解题步骤 2

使 $u = 0.7 (10 - t)$ 。然后使 $d u = - 0.7 d t$ ，以便 $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u = 0.7 (10 - t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $0.7 (10 - t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

解题步骤 2.1.2

因为 $0.7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.7 (10 - t)$ 对 $t$ 的导数是 $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ 。

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

解题步骤 2.1.3

根据加法法则， $10 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 2.1.4

因为 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以 $10$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- t]$ 相加。

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 2.1.6

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0.7$ 。

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.7 \cdot 1$

解题步骤 2.1.9

将 $- 0.7$ 乘以 $1$ 。

$- 0.7$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 0.7 (10 - t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

解题步骤 2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

从 $10$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

解题步骤 2.3.2

将 $0.7$ 乘以 $10$ 。

$u_{lower} = 7$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 0.7 (10 - t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

解题步骤 2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

解题步骤 2.5.2

从 $10$ 中减去 $10$ 。

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

解题步骤 2.5.3

将 $0.7$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.7}$ 。

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{0.7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.7}$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{0.7}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

解题步骤 7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

解题步骤 9

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

计算 $e^{u}$ 在 $0$ 处和在 $7$ 处的值。

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

解题步骤 9.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

解题步骤 10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

用 $3$ 除以 $0.7$ 。

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 乘以 $4.\overline{285714}$ 。

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

解题步骤 10.3

将 $- 4.\overline{285714}$ 乘以 $1 - e^{7}$ 。

$4695.57067897$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例