微积分学示例

$\int_{0}^{8} 8 + \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$8 x]_{0}^{8} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $8 x]_{0}^{8}$ 和 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$ 。

$8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$(8 \cdot 8 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$64 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$64 + \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.4.1

约去公因数。

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.4.2

重写表达式。

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$64 + \frac{3}{4} \cdot 16 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.6

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $16$ 。

$64 + \frac{3 \cdot 16}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.7

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$64 + \frac{48}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.8

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.8.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.8.2.2

约去公因数。

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.8.2.3

重写表达式。

$64 + \frac{12}{1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.8.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$64 + 12 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.9

将 $64$ 和 $12$ 相加。

$76 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.10

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.11

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 5.2.2.12

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

解题步骤 5.2.2.13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.13.1

约去公因数。

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

解题步骤 5.2.2.13.2

重写表达式。

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{4})$

解题步骤 5.2.2.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

解题步骤 5.2.2.15

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $0$ 。

$76 - (0 + 0)$

解题步骤 5.2.2.16

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$76 - 0$

解题步骤 5.2.2.17

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$76 + 0$

解题步骤 5.2.2.18

将 $76$ 和 $0$ 相加。

$76$

解题步骤 6

微积分学 示例

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