微积分学示例

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 。然后使 $d u = - \frac{3}{4} d x$ ，以便 $- \frac{4}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{2 - 3 x}{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 - 3 x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

解题步骤 1.1.3

根据加法法则， $2 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 1.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 1.1.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

解题步骤 1.1.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $2 - 3 \cdot 0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

解题步骤 1.3.1.2

从 $- 3 \cdot 0$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

解题步骤 1.3.1.3

从 $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

解题步骤 1.3.1.4

重新排序项。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

解题步骤 1.3.1.5

从 $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

解题步骤 1.3.1.6

约去公因数。

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解题步骤 1.3.1.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

解题步骤 1.3.1.6.2

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.3.1.6.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

解题步骤 1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $2 - 3 \cdot 8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

解题步骤 1.5.1.2

从 $- 3 \cdot 8$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

解题步骤 1.5.1.3

从 $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

解题步骤 1.5.1.4

重新排序项。

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

解题步骤 1.5.1.5

从 $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

解题步骤 1.5.1.6

约去公因数。

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解题步骤 1.5.1.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

解题步骤 1.5.1.6.2

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.1.6.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

解题步骤 1.5.2

化简分子。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

解题步骤 1.5.2.2

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

解题步骤 1.5.3

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

解题步骤 1.5.4

将负号移到分数的前面。

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

解题步骤 2.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{4}$ 。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

解题步骤 2.3

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $u^{2}$ 。

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{4}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{4}{3}$ 移到积分外。

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $- \frac{11}{2}$ 处和在 $\frac{1}{2}$ 处的值。

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

从 $- \frac{11}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 6.2.2

对 $- (\frac{11}{2})$ 运用乘积法则。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 6.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

对 $\frac{11}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 7.1.2

对 $11$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 7.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 7.1.4

乘以 $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1331}{8}$ 。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 7.1.4.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

解题步骤 7.1.5

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 7.1.6

一的任意次幂都为一。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

解题步骤 7.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

解题步骤 7.1.8

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ 。

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解题步骤 7.1.8.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

解题步骤 7.1.8.2

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

解题步骤 7.3

从 $- 1331$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

解题步骤 7.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

将 $- \frac{4}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

解题步骤 7.4.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

解题步骤 7.4.3

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

解题步骤 7.4.4

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

解题步骤 7.4.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

解题步骤 7.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

从 $- 1332$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

解题步骤 7.5.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

解题步骤 7.5.3

重写表达式。

$- \frac{- 444}{6}$

解题步骤 7.6

用 $- 444$ 除以 $6$ 。

$- - 74$

解题步骤 7.7

将 $- 1$ 乘以 $- 74$ 。

$74$

解题步骤 8

微积分学 示例

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