微积分学示例

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{1 - x}$ 。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

解题步骤 3.2

将 $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

解题步骤 4

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $1 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 4.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 - 0$

解题步骤 4.3

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = 1 - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$u_{upper} = 1 - 8$

解题步骤 4.5.2

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$u_{upper} = - 7$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $x (- e^{1 - x})$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

解题步骤 7.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 7$ 处和在 $1$ 处的值。

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.2

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.6

化简。

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.8

将 $0$ 乘以 $e$ 。

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.9

将 $- 8 e^{- 7}$ 和 $0$ 相加。

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

解题步骤 7.3.10

化简。

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

解题步骤 8.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{e^{7}}$ 。

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

解题步骤 8.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

解题步骤 8.5

乘以 $- - e$ 。

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解题步骤 8.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

解题步骤 8.5.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

小数形式：

$2.71007489 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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