微积分学示例

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

解题步骤 1

使 $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ 。然后使 $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ ，以便 $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d y} [5 y]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5 y$ 对 $y$ 的导数是 $5 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $3 y^{2} - 2 y + 5$ 和 $0$ 相加。

$3 y^{2} - 2 y + 5$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.3.1.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

解题步骤 1.5.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

解题步骤 1.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

解题步骤 1.5.1.4

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

解题步骤 1.5.2

从 $343$ 中减去 $49$ 。

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

解题步骤 1.5.3

将 $294$ 和 $35$ 相加。

$u_{upper} = 329 + 1$

解题步骤 1.5.4

将 $329$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 330$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

解题步骤 3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $330$ 处和在 $1$ 处的值。

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $330$ 之间的距离为 $330$ 。

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

解题步骤 5.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{330}{1})$

解题步骤 5.3

用 $330$ 除以 $1$ 。

$\ln (330)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (330)$

小数形式：

$5.79909265 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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