微积分学示例

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

解题步骤 1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

解题步骤 2

由于 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

解题步骤 3

使 $u = - \frac{t}{2}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{2} d t$ ，以便 $- 2 d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = - \frac{t}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- \frac{t}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{t}{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = - \frac{t}{2}$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = - \frac{t}{2}$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

用 $6$ 除以 $2$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = - 3$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将两个负数相除得到一个正数。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 4.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

解题步骤 6

将 $- 2$ 乘以 $10$ 。

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

解题步骤 7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 3$ 处和在 $0$ 处的值。

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

解题步骤 9.2

将 $- 20$ 乘以 $- 1$ 。

$- 20 e^{- 3} + 20$

解题步骤 9.3

化简每一项。

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解题步骤 9.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

解题步骤 9.3.2

组合 $- 20$ 和 $\frac{1}{e^{3}}$ 。

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

解题步骤 9.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

小数形式：

$19.00425863 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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