微积分学示例

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 2

由于 $0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $0.5$ 移到积分外。

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$u_{upper} = 18$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 6

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 8

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $9$ 处和在 $0$ 处的值。

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

解题步骤 10.2

计算 $- \cos (u)$ 在 $18$ 处和在 $0$ 处的值。

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

解题步骤 10.3

计算 $3 x$ 在 $9$ 处和在 $0$ 处的值。

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.3.2.2

约去公因数。

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.3.2.3

重写表达式。

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.5

将 $\frac{81}{2}$ 和 $0$ 相加。

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.6

组合 $0.5$ 和 $\frac{81}{2}$ 。

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.7

将 $0.5$ 乘以 $81$ 。

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.8

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

解题步骤 10.4.9

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

解题步骤 10.4.10

将 $27$ 和 $0$ 相加。

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

解题步骤 10.4.11

要将 $27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 10.4.12

组合 $27$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.4.13

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.4.14

将 $27$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

解题步骤 10.4.15

将 $40.5$ 和 $54$ 相加。

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

解题步骤 11

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\cos (18)$ 。

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

解题步骤 12.2

将 $- 1$ 乘以 $0.6603167$ 。

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

解题步骤 12.3

将 $- 0.6603167$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

解题步骤 12.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $0.33968329$ 。

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

解题步骤 12.5

用 $0.33968329$ 除以 $2$ 。

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

解题步骤 12.6

用 $94.5$ 除以 $2$ 。

$0.16984164 + 47.25$

解题步骤 12.7

将 $0.16984164$ 和 $47.25$ 相加。

$47.41984164$

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