微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{x}{4}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{4} d x$ ，以便 $4 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{x}{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{x}{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{x}{4}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{x}{4}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\ln (16)$ 重写为 $\ln (2^{4})$ 。

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

解题步骤 1.5.2

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{4})$ 。

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

解题步骤 1.5.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

解题步骤 1.5.3.2

用 $\ln (2)$ 除以 $1$ 。

$u_{upper} = \ln (2)$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

解题步骤 2.3

将 $4$ 移到 $e^{u}$ 的左侧。

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

解题步骤 4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $e^{u}$ 在 $\ln (2)$ 处和在 $0$ 处的值。

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$4 (2 - e^{0})$

解题步骤 5.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 (2 - 1)$

解题步骤 5.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 5.2.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 6

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