微积分学示例

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

解题步骤 1

展开 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 ${(1 + \sin (x))}^{2}$ 重写为 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 。

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.5

将 $\sin (x)$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.7

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.8

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

解题步骤 1.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 1.13

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 6

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 11

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 11.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 11.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 11.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 11.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 12

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

解题步骤 15

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

计算 $x$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

解题步骤 15.2

计算 $- \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

解题步骤 15.3

计算 $x$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

解题步骤 15.4

计算 $\sin (u)$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

解题步骤 15.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.5.1

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

解题步骤 15.5.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

解题步骤 16

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

解题步骤 16.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

解题步骤 16.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

解题步骤 16.4

将 $\sin (2 π)$ 和 $0$ 相加。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

解题步骤 16.5

组合 $\sin (2 π)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 17.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 17.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 17.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 17.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 17.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

解题步骤 17.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.7.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

解题步骤 17.7.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

解题步骤 17.8

用 $0$ 除以 $2$ 。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

解题步骤 17.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

解题步骤 17.10

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

解题步骤 17.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$π + 4 + \frac{π}{2}$

解题步骤 17.12

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

解题步骤 17.13

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

解题步骤 17.14

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

解题步骤 17.15

将 $π \cdot 2$ 和 $π$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.15.1

将 $π$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

解题步骤 17.15.2

将 $2 \cdot π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

解题步骤 18

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 π}{2} + 4$

小数形式：

$8.71238898 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例