微积分学示例

$\int_{0}^{5 π} - 3 \sin (x) + 4 \cos (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{5 π} - 3 \sin (x) d x + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int_{0}^{5 π} \sin (x) d x + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + 4 \int_{0}^{5 π} \cos (x) d x$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + 4 (\sin (x)]_{0}^{5 π})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

代入并化简。

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解题步骤 6.1.1

计算 $- \cos (x)$ 在 $5 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$- 3 ((- \cos (5 π)) + \cos (0)) + 4 (\sin (x)]_{0}^{5 π})$

解题步骤 6.1.2

计算 $\sin (x)$ 在 $5 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$- 3 (- \cos (5 π) + \cos (0)) + 4 (\sin (5 π) - \sin (0))$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) - \sin (0))$

解题步骤 6.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) - 0)$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) + 0)$

解题步骤 6.2.4

将 $\sin (5 π)$ 和 $0$ 相加。

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 3 (- \cos (π) + 1) + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 3 (- - \cos (0) + 1) + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 3 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (- - 1 + 1) + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (1 + 1) + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 3 \cdot 2 + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3.7

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 6 + 4 \sin (5 π)$

解题步骤 6.3.8

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 6 + 4 \sin (π)$

解题步骤 6.3.9

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 6 + 4 \sin (0)$

解题步骤 6.3.10

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 6 + 4 \cdot 0$

解题步骤 6.3.11

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$- 6 + 0$

解题步骤 6.3.12

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$- 6$

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