微积分学示例

$\int_{0}^{3} 8 x^{3} e^{x^{4}} d x$

解题步骤 1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{0}^{3} x^{3} e^{x^{4}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2}$

解题步骤 2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3^{2}$

解题步骤 2.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 2.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 重写为 ${u_{1}}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.2

约去公因数。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.3

重写表达式。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$8 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{1}$ 。

$8 \int_{0}^{9} \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{u_{1}}{2}$ 和 $e^{{u_{1}}^{2}}$ 。

$8 \int_{0}^{9} \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 5.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 5.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \int_{0}^{9} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 6

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 6.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 0^{2}$

解题步骤 6.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 9^{2}$

解题步骤 6.5

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 81$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

解题步骤 6.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 \int_{0}^{81} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 7

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \int_{0}^{81} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int_{0}^{81} e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$2 (e^{u_{2}}]_{0}^{81})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $e^{u_{2}}$ 在 $81$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((e^{81}) - e^{0})$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 (e^{81} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (e^{81} - 1)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$2 e^{81} + 2 \cdot - 1$

解题步骤 12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{81} - 2$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 e^{81} - 2$

小数形式：

$3.01219462 \cdot 10^{35}$

解题步骤 14

微积分学 示例

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