微积分学示例

$\int_{0}^{3} m^{2} {(4 m^{3} + 2)}^{3} d m$

解题步骤 1

使 $u = 4 m^{3} + 2$ 。然后使 $d u = 12 m^{2} d m$ ，以便 $\frac{1}{12} d u = m^{2} d m$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 m^{3} + 2$ 。求 $\frac{d u}{d m}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 m^{3} + 2$ 求导。

$\frac{d}{d m} [4 m^{3} + 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 m^{3} + 2$ 对 $m$ 的导数是 $\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$ 。

$\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d m} [4 m^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $m$ 是常数，所以 $4 m^{3}$ 对 $m$ 的导数是 $4 \frac{d}{d m} [m^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d m} [m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d m} [m^{n}]$ 等于 $n m^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 m^{2}) + \frac{d}{d m} [2]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 m^{2} + \frac{d}{d m} [2]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $2$ 对于 $m$ 是常数，所以 $2$ 对 $m$ 的导数为 $0$ 。

$12 m^{2} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $12 m^{2}$ 和 $0$ 相加。

$12 m^{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 m^{3} + 2$ 中的 $m$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{3} + 2$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 2$

解题步骤 1.3.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 2$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 m^{3} + 2$ 中的 $m$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 3^{3} + 2$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 \cdot 27 + 2$

解题步骤 1.5.1.2

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$u_{upper} = 108 + 2$

解题步骤 1.5.2

将 $108$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 110$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 110$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{110} u^{3} \frac{1}{12} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$\int_{2}^{110} \frac{u^{3}}{12} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{12}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{12}$ 移到积分外。

$\frac{1}{12} \int_{2}^{110} u^{3} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{12} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{110}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{4} u^{4}$ 在 $110$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{4} \cdot 110^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $110$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{12} (\frac{1}{4} \cdot 146410000 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $146410000$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{146410000}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2.3

约去 $146410000$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $146410000$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{12} (\frac{36602500}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2.3.2.4

用 $36602500$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

解题步骤 5.2.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

解题步骤 5.2.5

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{12} (36602500 - 16 (\frac{1}{4}))$

解题步骤 5.2.6

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 16}{4})$

解题步骤 5.2.7

约去 $- 16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

解题步骤 5.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

解题步骤 5.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 4}{1})$

解题步骤 5.2.7.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{12} (36602500 - 4)$

解题步骤 5.2.8

从 $36602500$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{12} \cdot 36602496$

解题步骤 5.2.9

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $36602496$ 。

$\frac{36602496}{12}$

解题步骤 5.2.10

约去 $36602496$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.10.1

从 $36602496$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 \cdot 3050208}{12}$

解题步骤 5.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.10.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 (1)}$

解题步骤 5.2.10.2.2

约去公因数。

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.10.2.3

重写表达式。

$\frac{3050208}{1}$

解题步骤 5.2.10.2.4

用 $3050208$ 除以 $1$ 。

$3050208$

解题步骤 6

微积分学 示例

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