微积分学示例

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 3^{3}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 1 \cdot 27} d x$

解题步骤 1.2

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 27} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{3} \frac{1}{x - 27} d x$

解题步骤 3

使 $u = x - 27$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x - 27$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x - 27$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 27]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x - 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 27]$

解题步骤 3.1.4

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = x - 27$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 - 27$

解题步骤 3.3

从 $0$ 中减去 $27$ 。

$u_{lower} = - 27$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = x - 27$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 - 27$

解题步骤 3.5

从 $3$ 中减去 $27$ 。

$u_{upper} = - 24$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 27$

$u_{upper} = - 24$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{- 27}^{- 24} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$2 (\ln (| u |)]_{- 27}^{- 24})$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u |)$ 在 $- 24$ 处和在 $- 27$ 处的值。

$2 (\ln (| - 24 |) - \ln (| - 27 |))$

解题步骤 6

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (\frac{| - 24 |}{| - 27 |})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 24$ 和 $0$ 之间的距离为 $24$ 。

$2 \ln (\frac{24}{| - 27 |})$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 27$ 和 $0$ 之间的距离为 $27$ 。

$2 \ln (\frac{24}{27})$

解题步骤 7.3

约去 $24$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $24$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 \ln (\frac{3 (8)}{27})$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

解题步骤 7.3.2.3

重写表达式。

$2 \ln (\frac{8}{9})$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln (\frac{8}{9})$

小数形式：

$- 0.23556607 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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