微积分学示例

$\int_{0}^{3} 10 x (3^{- x}) d x$

解题步骤 1

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$10 \int_{0}^{3} x \cdot (3^{- x}) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = 3^{- x}$ 。

$10 (x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $3^{- x}$ 和 $\frac{1}{\ln (3)}$ 。

$10 (x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ 。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $3^{- x}$ 和 $\frac{1}{\ln (3)}$ 。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x$ 乘以 $1$ 。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{\ln (3)}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (3)}$ 移到积分外。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{3} 3^{- x} d x)$

解题步骤 7

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

解题步骤 7.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = - 3$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

解题步骤 7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{- 3} - 3^{u} d u)$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int_{0}^{- 3} 3^{u} d u))$

解题步骤 9

$3^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ 。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3})))$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{\ln (3)}$ 和 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}$ 。

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ 在 $- 3$ 处和在 $0$ 处的值。

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$10 (- \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{27}$ 。

$10 (- \frac{\frac{3}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.5

约去 $3$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.5.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$10 (- \frac{\frac{3 (1)}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.5.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.5.2.2

约去公因数。

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.5.2.3

重写表达式。

$10 (- \frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.6

将 $\frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)}$ 重写为乘积形式。

$10 (- (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.7

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (3)}$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 1}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.10

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.12

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.13

将 $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ 重写为乘积形式。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.14

将 $\frac{1}{27}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (3)}$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.15

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

解题步骤 11.3.16

将 $\frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}$ 乘以 $\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)}$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - (\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} \cdot \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}))$

解题步骤 11.3.17

合并。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) (\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.18

运用分配律。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) \frac{1}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.19

组合 $\frac{1}{27 \ln (3)}$ 和 $27$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27}{27 \ln (3)} \ln (3) + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.20

组合 $\frac{27}{27 \ln (3)}$ 和 $\ln (3)$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.21

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.21.1

约去公因数。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.21.2

重写表达式。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.22

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.22.1

约去公因数。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.22.2

重写表达式。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.23

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27 \ln (3) \frac{1}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.24

组合 $\frac{1}{\ln (3)}$ 和 $- 27$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27}{\ln (3)} \ln (3)}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.25

组合 $\frac{- 27}{\ln (3)}$ 和 $\ln (3)$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.26

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.26.1

约去公因数。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.26.2

用 $- 27$ 除以 $1$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.27

从 $1$ 中减去 $27$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln (3) \ln (3)})$

解题步骤 11.3.28

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln (3))})$

解题步骤 11.3.29

对 $\ln (3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))})$

解题步骤 11.3.30

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 {\ln (3)}^{1 + 1}})$

解题步骤 11.3.31

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln^{2} (3)})$

解题步骤 11.3.32

将负号移到分数的前面。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - - \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

解题步骤 11.3.33

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + 1 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

解题步骤 11.3.34

将 $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ 乘以 $1$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

用 $0$ 除以 $\ln (3)$ 。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + 0 + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

解题步骤 12.2

将 $- \frac{1}{9 \ln (3)}$ 和 $0$ 相加。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)}) + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

解题步骤 12.4

乘以 $10 (- \frac{1}{9 \ln (3)})$ 。

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解题步骤 12.4.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 \frac{1}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

解题步骤 12.4.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{9 \ln (3)}$ 。

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

解题步骤 12.5

乘以 $10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ 。

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解题步骤 12.5.1

组合 $10$ 和 $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ 。

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{10 \cdot 26}{27 \ln^{2} (3)}$

解题步骤 12.5.2

将 $10$ 乘以 $26$ 。

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

解题步骤 12.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

小数形式：

$6.96711259 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

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