微积分学示例

$\int_{0}^{3} \frac{1}{9 - y^{2}} d y$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{3^{2} - y^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = y$ 。

$\frac{1}{(3 + y) (3 - y)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{3 + y}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(3 + y) (3 - y)$ 。

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.5

约去 $3 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.6

约去 $3 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.6.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $3 + y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $(A) (3 - y)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (3 - y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$1 = A \cdot 3 + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = 3 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.7.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 = 3 \cdot A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.7.5

约去 $3 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.5.1

约去公因数。

$1 = 3 A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

解题步骤 1.1.7.5.2

用 $(B) (3 + y)$ 除以 $1$ 。

$1 = 3 A - A y + (B) (3 + y)$

解题步骤 1.1.7.6

运用分配律。

$1 = 3 A - A y + B \cdot 3 + B y$

解题步骤 1.1.7.7

将 $3$ 移到 $B$ 的左侧。

$1 = 3 A - A y + 3 B + B y$

解题步骤 1.1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.8.1

移动 $A$ 。

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

解题步骤 1.1.8.2

将 $B$ 和 $y$ 重新排序。

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

解题步骤 1.1.8.3

移动 $3 B$ 。

$1 = 3 A - y A + B y + 3 B$

解题步骤 1.1.8.4

移动 $3 A$ 。

$1 = - y A + B y + 3 A + 3 B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $y$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = - 1 A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $y$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 3 A + 3 B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $0 = - 1 A + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $- 1 A + B = 0$ 。

$- 1 A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$- A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

解题步骤 1.3.1.3

在等式两边都加上 $A$ 。

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $A$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $A$ 替换 $1 = 3 A + 3 B$ 中所有出现的 $B$ .

$1 = 3 A + 3 (A)$

$B = A$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

将 $3 A$ 和 $3 A$ 相加。

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

解题步骤 1.3.3

在 $1 = 6 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $6 A = 1$ 。

$6 A = 1$

$B = A$

解题步骤 1.3.3.2

将 $6 A = 1$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.2.1

将 $6 A = 1$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{6}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\frac{1}{6}$ 替换 $B = A$ 中所有出现的 $A$ .

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

解题步骤 1.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

去掉圆括号。

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$B = \frac{1}{6}, A = \frac{1}{6}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{\frac{1}{6}}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3 + y}$ 。

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

解题步骤 1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 - y}$

解题步骤 1.5.4

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3 - y}$ 。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 + y} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 3 + y$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 3 + y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $3 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $3 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 4.1.3

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 4.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 4.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{1} = 3 + y$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 3 + 0$

解题步骤 4.3

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{1} = 3 + y$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 3 + 3$

解题步骤 4.5

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$u_{upper} = 6$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 6$

解题步骤 4.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{6} \int_{3}^{6} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

解题步骤 5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 - y} d y$

解题步骤 7

使 $u_{2} = 3 - y$ 。然后使 $d u_{2} = - d y$ ，以便 $- d u_{2} = d y$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = 3 - y$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d y}$ 。

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解题步骤 7.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 7.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u_{2} = 3 - y$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 3 - 0$

解题步骤 7.3

从 $3$ 中减去 $0$ 。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u_{2} = 3 - y$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = 3 - 3$

解题步骤 7.5.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 7.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- \int_{3}^{0} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 10

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- (\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}))$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\ln (| u_{1} |)$ 在 $6$ 处和在 $3$ 处的值。

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

解题步骤 12.2

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $0$ 处和在 $3$ 处的值。

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{(\ln (| 0 |)) - \ln (| 3 |)}{6}$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

要将 $\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot \frac{6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

解题步骤 12.3.2

组合 $\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

解题步骤 12.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6 - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

解题步骤 12.3.4

组合 $6$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

解题步骤 12.3.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.5.1

约去公因数。

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

解题步骤 12.3.5.2

重写表达式。

$\frac{1 (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

解题步骤 12.3.6

将 $\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

解题步骤 13.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - \ln (\frac{| 0 |}{| 3 |})}{6}$

解题步骤 13.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

解题步骤 13.4

将 $\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}}$ 重写为乘积形式。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

解题步骤 13.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{| 0 |}{| 3 |}$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} (1 \frac{| 3 |}{| 0 |}))}{6}$

解题步骤 13.6

将 $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{| 3 |}{| 0 |})}{6}$

解题步骤 13.7

将 $\frac{| 6 |}{| 3 |}$ 乘以 $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 6 | | 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

解题步骤 13.8

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\ln (\frac{| 6 \cdot 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

解题步骤 13.9

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

解题步骤 13.10

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 \cdot 0 |})}{6}$

解题步骤 13.11

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 0 |})}{6}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

解题步骤 14.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

解题步骤 15

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

微积分学 示例

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