微积分学示例

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 3 x^{2} - 2 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 2 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 2 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

解题步骤 9.3

计算 $- 2 x$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2.2

约去公因数。

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2.3

重写表达式。

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{81}{4} - 0) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- (\frac{81}{4} + 0) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.5

将 $\frac{81}{4}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.7

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.7.2.2

约去公因数。

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.7.2.3

重写表达式。

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.7.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2.2

约去公因数。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2.3

重写表达式。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0}{1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - 0) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{81}{4} + 3 (9 + 0) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.11

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{81}{4} + 3 \cdot 9 + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.12

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{81}{4} + 27 + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.13

要将 $27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{81}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.14

组合 $27$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{81}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.15

在公分母上合并分子。

$\frac{- 81 + 27 \cdot 4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.16

化简分子。

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解题步骤 9.4.16.1

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 81 + 108}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.16.2

将 $- 81$ 和 $108$ 相加。

$\frac{27}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.17

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27}{4} - 6 + 2 \cdot 0$

解题步骤 9.4.18

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{27}{4} - 6 + 0$

解题步骤 9.4.19

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{27}{4} - 6$

解题步骤 9.4.20

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{27}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 9.4.21

组合 $- 6$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{27}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

解题步骤 9.4.22

在公分母上合并分子。

$\frac{27 - 6 \cdot 4}{4}$

解题步骤 9.4.23

化简分子。

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解题步骤 9.4.23.1

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{27 - 24}{4}$

解题步骤 9.4.23.2

从 $27$ 中减去 $24$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{4}$

小数形式：

$0.75$

解题步骤 11

微积分学 示例

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