微积分学示例

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{1} = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{1} = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 (2 π)$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = 8 π$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8 π$

解题步骤 2.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} \frac{1}{4} d u_{1}$

解题步骤 3

组合 ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} \frac{{(3 + \sin (u_{1}))}^{2}}{4} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1})$

解题步骤 5

通过相乘进行化简。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 5.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 5.2

展开 ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ 重写为 $(3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1}))$ 。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} (3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 (3 + \sin (u_{1})) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \cdot 3 + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2.5

将 $\sin (u_{1})$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \cdot \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2.7

对 $\sin (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2.8

对 $\sin (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin^{1} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + {\sin (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

解题步骤 5.2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 5.2.11

将 $3 \sin (u_{1})$ 和 $3 \sin (u_{1})$ 相加。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 6 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{8 π} 9 d u_{1} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 8

由于 $6$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 \int_{0}^{8 π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 9

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 10

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{8 π} d u_{1} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

解题步骤 14

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{8 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

解题步骤 15

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 15.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 15.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 15.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 15.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 15.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 15.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 15.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 15.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 (8 π)$

解题步骤 15.5

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 16 π$

解题步骤 15.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16 π$

解题步骤 15.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

解题步骤 16

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

解题步骤 17

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) d u_{2})))$

解题步骤 18

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

解题步骤 19

代入并化简。

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解题步骤 19.1

计算 $9 u_{1}$ 在 $8 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((9 (8 π)) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

解题步骤 19.2

计算 $- \cos (u_{1})$ 在 $8 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

解题步骤 19.3

计算 $u_{1}$ 在 $8 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

解题步骤 19.4

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $16 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

解题步骤 19.5

化简。

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解题步骤 19.5.1

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{8} (72 π - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

解题步骤 19.5.2

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

解题步骤 19.5.3

将 $72 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

解题步骤 19.5.4

将 $8 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

解题步骤 20.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - 0)))$

解题步骤 20.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) + 0)))$

解题步骤 20.4

将 $\sin (16 π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} \sin (16 π)))$

解题步骤 20.5

组合 $\sin (16 π)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

解题步骤 21

化简。

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解题步骤 21.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

解题步骤 21.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 \cdot 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

解题步骤 21.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

解题步骤 21.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{8} (72 π + 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

解题步骤 21.5

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

解题步骤 21.6

化简分子。

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解题步骤 21.6.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (0)}{2}))$

解题步骤 21.6.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{0}{2}))$

解题步骤 21.7

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - 0))$

解题步骤 21.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π + 0))$

解题步骤 21.9

将 $8 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π))$

解题步骤 21.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.10.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

解题步骤 21.10.2

约去公因数。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

解题步骤 21.10.3

重写表达式。

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 4 π)$

解题步骤 21.11

将 $72 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (72 π + 4 π)$

解题步骤 21.12

将 $72 π$ 和 $4 π$ 相加。

$\frac{1}{8} (76 π)$

解题步骤 21.13

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 21.13.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 (2)} (76 π)$

解题步骤 21.13.2

从 $76 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 (2)} (4 (19 π))$

解题步骤 21.13.3

约去公因数。

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 (19 π))$

解题步骤 21.13.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} (19 π)$

解题步骤 21.14

组合 $19$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{19}{2} π$

解题步骤 21.15

组合 $\frac{19}{2}$ 和 $π$ 。

$\frac{19 π}{2}$

解题步骤 22

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{19 π}{2}$

小数形式：

$29.84513020 \dots$

微积分学 示例

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