微积分学示例

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \cos (2 π)$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{upper} = \cos (0)$

解题步骤 1.5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

解题步骤 5

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $1$ 处的值。

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 5.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

解题步骤 5.2.2

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1 - 1}{3}$

解题步骤 5.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{0}{3}$

解题步骤 5.2.5

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (0)}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{0}{1}$

解题步骤 5.2.5.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 0$

$- 0$

$- 0$

解题步骤 5.2.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

$0$

$0$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$