微积分学示例

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{2 π} d x + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 (2 π)$

解题步骤 5.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

解题步骤 8

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $x$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

解题步骤 9.2

计算 $\sin (u)$ 在 $4 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

解题步骤 9.3

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

解题步骤 10.3

将 $\sin (4 π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π))$

解题步骤 10.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (4 π)$ 。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (0)}{2})$

解题步骤 11.1.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{0}{2})$

解题步骤 11.1.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

解题步骤 11.2

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (2 π)$

解题步骤 11.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (π))$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 π)$

解题步骤 11.3.3

重写表达式。

$π$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$π$

小数形式：

$3.14159265 \dots$

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