微积分学示例

$\int_{0}^{2} x (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} - 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{3} u \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{- 1}^{3} \frac{u}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{3} u d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{3}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{2} u^{2}$ 在 $3$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

解题步骤 5.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1}{2}$

解题步骤 5.2.6

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{2}$

解题步骤 5.2.7

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2}$

解题步骤 5.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 5.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

解题步骤 5.2.7.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 4$

解题步骤 5.2.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 5.2.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 5.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 5.2.9.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6

微积分学 示例

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