微积分学示例

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 4 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 4 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 4 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 + 4$

解题步骤 1.5.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt[3]{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 在 $8$ 处和在 $4$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.5

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $16$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.6

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7

约去 $48$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.7.2.4

用 $12$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.2.8

组合 $4^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

解题步骤 6.2.9

将 $3$ 移到 $4^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

解题步骤 6.2.10

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $4^{1}$ 移动到分子。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

解题步骤 6.2.11

通过指数相加将 $4^{\frac{4}{3}}$ 乘以 $4^{- 1}$ 。

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解题步骤 6.2.11.1

移动 $4^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

解题步骤 6.2.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.2.11.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.2.11.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

解题步骤 6.2.11.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

解题步骤 6.2.11.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.11.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

解题步骤 6.2.11.6.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

解题步骤 6.2.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 7.3

乘以 $\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ 。

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解题步骤 7.3.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{- 3}{2}$ 和 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

小数形式：

$3.61889842 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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