微积分学示例

$\int_{0}^{20} | x - 10 | d x$

解题步骤 1

根据 $x - 10$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\int_{0}^{10} - x + 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{10} - x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{0}^{10} x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x d x + \int_{10}^{20} - 10 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + \int_{10}^{20} - 10 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + - 10 x]_{10}^{20}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20}$ 和 $- 10 x]_{10}^{20}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $10$ 处和在 $0$ 处的值。

$- ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

解题步骤 10.2.2

计算 $10 x$ 在 $10$ 处和在 $0$ 处的值。

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

解题步骤 10.2.3

计算 $\frac{1}{2} x^{2} - 10 x$ 在 $20$ 处和在 $10$ 处的值。

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4

化简。

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解题步骤 10.2.4.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$- (\frac{100}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.2

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.2.2.2

约去公因数。

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.2.2.3

重写表达式。

$- (\frac{50}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.2.2.4

用 $50$ 除以 $1$ 。

$- (50 - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- (50 - \frac{0}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (50 - \frac{2 (0)}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.4.2.2

约去公因数。

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.4.2.3

重写表达式。

$- (50 - \frac{0}{1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- (50 - 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- (50 + 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.6

将 $50$ 和 $0$ 相加。

$- 1 \cdot 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.7

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$- 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.8

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$- 50 + 100 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.9

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$- 50 + 100 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.10

将 $100$ 和 $0$ 相加。

$- 50 + 100 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.11

将 $- 50$ 和 $100$ 相加。

$50 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.12

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$50 + \frac{1}{2} \cdot 400 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $400$ 。

$50 + \frac{400}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.14

约去 $400$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.14.1

从 $400$ 中分解出因数 $2$ 。

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.14.2.2

约去公因数。

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.14.2.3

重写表达式。

$50 + \frac{200}{1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.14.2.4

用 $200$ 除以 $1$ 。

$50 + 200 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.15

将 $- 10$ 乘以 $20$ 。

$50 + 200 - 200 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.16

从 $200$ 中减去 $200$ 。

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.17

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 100 - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $100$ 。

$50 + 0 - (\frac{100}{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.19

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.19.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.19.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.19.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.19.2.2

约去公因数。

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.19.2.3

重写表达式。

$50 + 0 - (\frac{50}{1} - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.19.2.4

用 $50$ 除以 $1$ 。

$50 + 0 - (50 - 10 \cdot 10)$

解题步骤 10.2.4.20

将 $- 10$ 乘以 $10$ 。

$50 + 0 - (50 - 100)$

解题步骤 10.2.4.21

从 $50$ 中减去 $100$ 。

$50 + 0 - - 50$

解题步骤 10.2.4.22

将 $- 1$ 乘以 $- 50$ 。

$50 + 0 + 50$

解题步骤 10.2.4.23

将 $0$ 和 $50$ 相加。

$50 + 50$

解题步骤 10.2.4.24

将 $50$ 和 $50$ 相加。

$100$

解题步骤 11

微积分学 示例

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