微积分学示例

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

解题步骤 1

由于 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $18$ 移到积分外。

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x + 1$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u = 3 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $3 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 3 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

解题步骤 2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 2.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 3 x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

解题步骤 2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 6 + 1$

解题步骤 2.5.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 7$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

组合 $u^{5}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $18$ 。

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

解题步骤 5.2

约去 $18$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

解题步骤 5.2.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $u^{6}$ 。

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

解题步骤 8

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

计算 $\frac{u^{6}}{6}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

解题步骤 8.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

对 $7$ 进行 $6$ 次方运算。

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

解题步骤 8.2.2

一的任意次幂都为一。

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

解题步骤 8.2.3

在公分母上合并分子。

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

解题步骤 8.2.4

从 $117649$ 中减去 $1$ 。

$6 (\frac{117648}{6})$

解题步骤 8.2.5

约去 $117648$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.5.1

从 $117648$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

解题步骤 8.2.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

解题步骤 8.2.5.2.2

约去公因数。

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.5.2.3

重写表达式。

$6 (\frac{19608}{1})$

解题步骤 8.2.5.2.4

用 $19608$ 除以 $1$ 。

$6 \cdot 19608$

解题步骤 8.2.6

将 $6$ 乘以 $19608$ 。

$117648$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例