微积分学示例

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 3

使 $u = π x$ 。然后使 $d u = π d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = π x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $π x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = π x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

解题步骤 3.3

将 $π$ 乘以 $- 0.5$ 。

$u_{lower} = - 1.57079632$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = π x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

解题步骤 3.5

将 $π$ 乘以 $0.5$ 。

$u_{upper} = 1.57079632$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 4

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

解题步骤 8

乘以 $- (12 x^{2} - 3)$ 。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

解题步骤 11

由于 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 12$ 移到积分外。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

解题步骤 15

代入并化简。

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解题步骤 15.1

计算 $\sin (u)$ 在 $1.57079632$ 处和在 $- 1.57079632$ 处的值。

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

解题步骤 15.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $0.5$ 处和在 $- 0.5$ 处的值。

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

解题步骤 15.3

计算 $3 x$ 在 $0.5$ 处和在 $- 0.5$ 处的值。

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4

化简。

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解题步骤 15.4.1

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.2

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.5

将 $\frac{0.125}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.7

将 $0.125$ 和 $0.125$ 相加。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.8

组合 $- 12$ 和 $\frac{0.25}{3}$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.9

将 $- 12$ 乘以 $0.25$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.10

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.4.10.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 15.4.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.10.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.10.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.10.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.11

将 $3$ 乘以 $0.5$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

解题步骤 15.4.12

将 $- 3$ 乘以 $- 0.5$ 。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

解题步骤 15.4.13

将 $1.5$ 和 $1.5$ 相加。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

解题步骤 15.4.14

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

运用分配律。

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

解题步骤 16.1.2

组合 $\frac{4}{π}$ 和 $\sin (1.57079632)$ 。

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

解题步骤 16.1.3

组合 $\frac{4}{π}$ 和 $\sin (- 1.57079632)$ 。

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

解题步骤 16.1.4

化简每一项。

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解题步骤 16.1.4.1

计算 $\sin (1.57079632)$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

解题步骤 16.1.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

解题步骤 16.1.4.3

计算 $\sin (- 1.57079632)$ 。

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

解题步骤 16.1.4.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

解题步骤 16.1.4.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

解题步骤 16.1.4.6

乘以 $- - \frac{4}{π}$ 。

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解题步骤 16.1.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

解题步骤 16.1.4.6.2

将 $\frac{4}{π}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

解题步骤 16.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

解题步骤 16.1.6

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{8}{π} + 2$

解题步骤 16.2

将 $\frac{8}{π}$ 和 $2$ 相加。

$4.54647908$

微积分学 示例

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