微积分学示例

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

解题步骤 1.3

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{lower} = 0.125$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{3}$

解题步骤 1.5

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

组合 $\cot (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

解题步骤 4

$\cot (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sin (u) |)$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| \sin (u) |)$ 在 $1$ 处和在 $0.125$ 处的值。

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

小数形式：

$- 0.65541022 \dots$

微积分学 示例

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