微积分学示例

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} - \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{5} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} {(u^{3})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{3 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{- 3} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 3}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $u^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 7.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{6} u^{6}$ 在 $\sqrt{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 7.2.2

计算 $- \frac{1}{2 u^{2}}$ 在 $\sqrt{2}$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{6}$ 重写为 $2^{3}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{6}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{3}{1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $8$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{8}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.4

约去 $8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 (4)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.7

要将 $\frac{4}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.8.1

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.8.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.10

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.10.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.10.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.11

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{7}{6}$ 。

$\frac{7}{4 \cdot 6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.12

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{7}{24} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.13

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.2.3.13.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.13.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.13.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.13.4.1

约去公因数。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.13.4.2

重写表达式。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.13.5

计算指数。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.14

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 7.2.3.15

一的任意次幂都为一。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.3.16

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.3.17

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 7.2.3.18

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.18.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

解题步骤 7.2.3.18.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

解题步骤 7.2.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{24} - \frac{- 1 + 2}{4}$

解题步骤 7.2.3.20

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4}$

解题步骤 7.2.3.21

要将 $- \frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 7.2.3.22

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.22.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{7}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6}$

解题步骤 7.2.3.22.2

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{7}{24} - \frac{6}{24}$

解题步骤 7.2.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{7 - 6}{24}$

解题步骤 7.2.3.24

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$\frac{1}{24}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{24}$

小数形式：

$0.041\overline{6}$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例