微积分学示例

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ 重写为 $\frac{3 \ln (x)}{x}$ 。

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 3

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (1)$

解题步骤 3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用对数规则把 $4$ 移到指数外部。

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

解题步骤 3.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

解题步骤 3.5.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 4$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{0}^{4} u d u$

$3 \int_{0}^{4} u d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{u^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 6.2.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 6.2.2.2.2

约去公因数。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 6.2.2.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 6.2.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 6.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 (8 - \frac{0}{2})$

解题步骤 6.2.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 6.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.4.2.2

约去公因数。

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.4.2.3

重写表达式。

$3 (8 - \frac{0}{1})$

解题步骤 6.2.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$3 (8 - 0)$

$3 (8 - 0)$

$3 (8 - 0)$

解题步骤 6.2.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 (8 + 0)$

解题步骤 6.2.6

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$3 \cdot 8$

解题步骤 6.2.7

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$24$

$24$

$24$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$