微积分学示例

$\int_{0}^{π} 2 \sin^{4} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{π} \sin^{4} (x) d x$

解题步骤 2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \int_{0}^{π} {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

解题步骤 2.2

将 ${\sin (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$2 \int_{0}^{π} {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

解题步骤 3

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (x)$ 的形式。

$2 \int_{0}^{π} {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 4.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 4.6

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

解题步骤 6

通过相乘进行化简。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.2.2

重写表达式。

$1 \int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6.1.3

将 $\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ 重写为乘积形式。

$\int_{0}^{2 π} {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 6.3

展开 ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1

将幂重写为乘积形式。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.4

运用分配律。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.5

运用分配律。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.6

运用分配律。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.7

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.8

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.9

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.11

将 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.12

移动括号。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.13

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.14

将 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.15

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.16

移动 $\cos (u_{1})$ 。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.17

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.18

将 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 6.3.19

将 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

解题步骤 6.3.20

移动括号。

解题步骤 6.3.21

移动 $\cos (u_{1})$ 。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.22

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.23

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2 π} 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.24

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.25

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.26

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.27

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.28

组合 $- \frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.29

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.30

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.31

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.32

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.33

组合 $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.34

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.35

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.36

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.37

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.38

将 $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.39

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.3.40

组合 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.41

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.42

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.43

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.44

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.45

从 $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ 中减去 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.46

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.47

将 $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.3.48

将 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ 重新排序。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1

从 $- 2 \cos (u_{1})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

解题步骤 6.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

解题步骤 6.4.1.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 6.4.1.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 6.4.2

将负号移到分数的前面。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 9

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 14

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 14.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 14.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 14.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 14.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 14.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 (2 π)$

解题步骤 14.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 14.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 14.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 15

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 16

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 17

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 18

应用常数不变法则。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 19

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 20

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 21

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$\frac{1}{8} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

解题步骤 22

代入并化简。

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解题步骤 22.1

计算 $u_{1}$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π}) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

解题步骤 22.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $4 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + \frac{1}{4} u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

解题步骤 22.3

计算 $\frac{1}{4} u_{1}$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{1})]_{0}^{2 π}$

解题步骤 22.4

计算 $\sin (u_{1})$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5

化简。

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解题步骤 22.5.1

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0))) + (\frac{1}{4} (2 π)) - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2}{4} π - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.3

组合 $\frac{2}{4}$ 和 $π$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.5.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 (π)}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 22.5.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.5

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.6

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

解题步骤 22.5.7

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0))) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

解题步骤 23.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

解题步骤 23.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

解题步骤 23.4

将 $\sin (4 π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π)) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

解题步骤 23.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (4 π)$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

解题步骤 23.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

解题步骤 23.7

将 $\sin (2 π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 π)$

解题步骤 23.8

组合 $\sin (2 π)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) + \frac{π}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2}$

解题步骤 23.9

要将 $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 23.10

组合 $\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 23.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) \cdot 2 - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 23.12

组合 $2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{\frac{2}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 23.13

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 23.13.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (1)}{8} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 23.13.2

约去公因数。

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解题步骤 23.13.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 23.13.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 23.13.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24

化简。

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解题步骤 24.1

化简每一项。

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解题步骤 24.1.1

化简分子。

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解题步骤 24.1.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{\sin (0)}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.1.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + \frac{0}{2}) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.1.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π + 0) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.2

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1}{4} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 24.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.3.2

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{2 (2)} (2 (π)) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.3.3

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π) - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.3.4

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{2} π - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (2 π)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\frac{π}{2} - \sin (0)}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\frac{π}{2} - 0}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\frac{π}{2} + 0}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.8

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.9

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.10

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 24.10.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

解题步骤 24.11

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 24.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 24.12.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 24.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

解题步骤 24.13

在公分母上合并分子。

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

解题步骤 24.14

将 $π$ 和 $π \cdot 2$ 相加。

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解题步骤 24.14.1

将 $π$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

解题步骤 24.14.2

将 $π$ 和 $2 \cdot π$ 相加。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 25

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 π}{4}$

小数形式：

$2.35619449 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例