微积分学示例

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

解题步骤 6

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

计算 $x$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

解题步骤 6.1.2

计算 $x \sin (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

解题步骤 6.1.3

计算 $- \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

解题步骤 6.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.1

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

解题步骤 6.1.4.2

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

解题步骤 6.1.4.3

将 $π \sin (π)$ 和 $0$ 相加。

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

解题步骤 6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

解题步骤 6.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

解题步骤 6.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

解题步骤 6.3.3

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

解题步骤 6.3.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

解题步骤 6.3.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

解题步骤 6.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

解题步骤 6.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$π - (0 - (1 + 1))$

解题步骤 6.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

解题步骤 6.3.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$π - (0 - 2)$

解题步骤 6.3.10

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$π - - 2$

解题步骤 6.3.11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$π + 2$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$π + 2$

小数形式：

$5.14159265 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例