微积分学示例

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 1.6

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

组合 $\sin^{2} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 10

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 u_{1}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 2 (2 π)$

解题步骤 10.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 10.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 11

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

解题步骤 13

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $u_{1}$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

解题步骤 14.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $4 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

解题步骤 14.3

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

解题步骤 15.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

解题步骤 15.3

将 $\sin (4 π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

解题步骤 15.4

组合 $\sin (4 π)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

解题步骤 16.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

解题步骤 16.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

解题步骤 16.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

解题步骤 16.4

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (2 π)$

解题步骤 16.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

解题步骤 16.5.2

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

解题步骤 16.5.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

解题步骤 16.5.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} π$

解题步骤 16.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{2}$

小数形式：

$1.57079632 \dots$

微积分学 示例

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