微积分学示例

$\ln (x^{4} + 27)$

解题步骤 1

将 $\ln (x^{4} + 27)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4} + 27$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + 27$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

解题步骤 2.1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

解题步骤 2.1.1.3

使用 $x^{4} + 27$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $x^{4} + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

解题步骤 2.1.2.3

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 2.1.2.4

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

解题步骤 2.1.2.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4} + 27}$ 。

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

解题步骤 2.1.2.4.3

组合 $\frac{4}{x^{4} + 27}$ 和 $x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{4} + 27$ 。

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

求微分。

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解题步骤 2.2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $3$ 移到 $x^{4} + 27$ 的左侧。

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.3

根据加法法则， $x^{4} + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.5

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.6.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

组合 $4$ 和 $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 。

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

化简。

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解题步骤 2.2.6.1

运用分配律。

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.2

运用分配律。

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.3

运用分配律。

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.6.4.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.6.4.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.1.1.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.1.3

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.1.4

将 $81$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.1.5

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.2

从 $12 x^{6}$ 中减去 $16 x^{6}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ 中分解出因数 $- 4 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

从 $- 4 x^{6}$ 中分解出因数 $- 4 x^{2}$ 。

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

解题步骤 3.3.1.1.2

从 $324 x^{2}$ 中分解出因数 $- 4 x^{2}$ 。

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

解题步骤 3.3.1.1.3

从 $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ 中分解出因数 $- 4 x^{2}$ 。

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

解题步骤 3.3.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

解题步骤 3.3.1.3

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

解题步骤 3.3.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 9$ 。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

解题步骤 3.3.1.5

因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1

化简。

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解题步骤 3.3.1.5.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

解题步骤 3.3.1.5.1.2

因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

解题步骤 3.3.1.5.1.2.2

去掉多余的括号。

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 3.3.1.5.2

去掉多余的括号。

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.3.3

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.3.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.3.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3.4

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 3.3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 3.3.4.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 3.3.4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 3.3.4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 3.3.4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 3.3.4.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 3.3.4.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 3.3.4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 3.3.4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 3.3.4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 3.3.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.3.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 3.3.6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.3.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.3.7

最终解为使 $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \ln (0 + 27)$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $27$ 相加。

$f (0) = \ln (27)$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\ln (27)$ 。

$\ln (27)$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 中求得的点为 $(0, \ln (27))$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, \ln (27))$

解题步骤 4.3

将 $- 3$ 代入 $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

解题步骤 4.3.2.2

将 $81$ 和 $27$ 相加。

$f (- 3) = \ln (108)$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\ln (108)$ 。

$\ln (108)$

解题步骤 4.4

通过将 $- 3$ 代入 $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 中求得的点为 $(- 3, \ln (108))$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 3, \ln (108))$

解题步骤 4.5

将 $3$ 代入 $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

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解题步骤 4.5.2.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (3) = \ln (81 + 27)$

解题步骤 4.5.2.2

将 $81$ 和 $27$ 相加。

$f (3) = \ln (108)$

解题步骤 4.5.2.3

最终答案为 $\ln (108)$ 。

$\ln (108)$

解题步骤 4.6

通过将 $3$ 代入 $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 中求得的点为 $(3, \ln (108))$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3, \ln (108))$

解题步骤 4.7

确定可能是拐点的点。

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3.1$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $887.503681$ 。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $324$ 乘以 $9.61$ 。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 3550.014724$ 和 $3113.64$ 相加。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 3.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $92.3521$ 和 $27$ 相加。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $119.3521$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

解题步骤 6.2.3

用 $- 436.374724$ 除以 $14244.92377441$ 。

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 0.0306337$ 。

$- 0.0306337$

解题步骤 6.3

在 $- 3.1$ ，二阶导数为 $- 0.0306337$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 3)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 3)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 3, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.6.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.3

约去公因数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6.4

重写表达式。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.7

将 $- 1 (\frac{729}{16})$ 重写为 $- (\frac{729}{16})$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.1.8.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.8.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.10

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.13

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.13.1

从 $324$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.13.2

约去公因数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.13.3

重写表达式。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.14

将 $81$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.15

要将 $729$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.16

组合 $729$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.17

在公分母上合并分子。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.18

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.18.1

将 $729$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.18.2

将 $- 729$ 和 $11664$ 相加。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.6

要将 $27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.7

组合 $27$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.9

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.9.1

将 $27$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.9.2

将 $81$ 和 $432$ 相加。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.10

对 $\frac{513}{16}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.11

对 $513$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.12

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

解题步骤 7.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

解题步骤 7.2.4

约去 $729$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.1

从 $10935$ 中分解出因数 $729$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

解题步骤 7.2.4.2

从 $263169$ 中分解出因数 $729$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

解题步骤 7.2.4.3

约去公因数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

解题步骤 7.2.4.4

重写表达式。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

解题步骤 7.2.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.5.1

从 $256$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

解题步骤 7.2.5.2

约去公因数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

解题步骤 7.2.5.3

重写表达式。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

解题步骤 7.2.6

组合 $15$ 和 $\frac{16}{361}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

解题步骤 7.2.7

将 $15$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

解题步骤 7.2.8

最终答案为 $\frac{240}{361}$ 。

$\frac{240}{361}$

解题步骤 7.3

在 $- \frac{3}{2}$ 处，二阶导数为 $0.66481994$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 3, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 3, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $\frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4.3

约去公因数。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.4.4

重写表达式。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.5

将 $- 1 (\frac{729}{16})$ 重写为 $- (\frac{729}{16})$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.6

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.9.1

从 $324$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9.2

约去公因数。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.9.3

重写表达式。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.10

将 $81$ 乘以 $9$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.11

要将 $729$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.12

组合 $729$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.13

在公分母上合并分子。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.14

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.14.1

将 $729$ 乘以 $16$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.1.14.2

将 $- 729$ 和 $11664$ 相加。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4

要将 $27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.5

组合 $27$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.6

在公分母上合并分子。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.7

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.7.1

将 $27$ 乘以 $16$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.7.2

将 $81$ 和 $432$ 相加。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.8

对 $\frac{513}{16}$ 运用乘积法则。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.9

对 $513$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.10

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

解题步骤 8.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

解题步骤 8.2.4

约去 $729$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.1

从 $10935$ 中分解出因数 $729$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

解题步骤 8.2.4.2

从 $263169$ 中分解出因数 $729$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

解题步骤 8.2.4.3

约去公因数。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

解题步骤 8.2.4.4

重写表达式。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

解题步骤 8.2.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.5.1

从 $256$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

解题步骤 8.2.5.2

约去公因数。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

解题步骤 8.2.5.3

重写表达式。

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

解题步骤 8.2.6

组合 $15$ 和 $\frac{16}{361}$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

解题步骤 8.2.7

将 $15$ 乘以 $16$ 。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

解题步骤 8.2.8

最终答案为 $\frac{240}{361}$ 。

$\frac{240}{361}$

解题步骤 8.3

在 $\frac{3}{2}$ 处，二阶导数为 $0.66481994$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, 3)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, 3)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简分子。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $3.1$ 进行 $6$ 次方运算。

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $887.503681$ 。

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.3

对 $3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.4

将 $324$ 乘以 $9.61$ 。

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2.1.5

将 $- 3550.014724$ 和 $3113.64$ 相加。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $3.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $92.3521$ 和 $27$ 相加。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $119.3521$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

解题步骤 9.2.3

用 $- 436.374724$ 除以 $14244.92377441$ 。

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $- 0.0306337$ 。

$- 0.0306337$

解题步骤 9.3

在 $3.1$ ，二阶导数为 $- 0.0306337$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(3, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(3, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ 。

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例