微积分学示例

$\int_{0}^{π} 5 e^{x} + 3 \sin (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{π} 5 e^{x} d x + \int_{0}^{π} 3 \sin (x) d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{0}^{π} e^{x} d x + \int_{0}^{π} 3 \sin (x) d x$

解题步骤 3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$5 (e^{x}]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} 3 \sin (x) d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$5 (e^{x}]_{0}^{π}) + 3 \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$5 (e^{x}]_{0}^{π}) + 3 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

代入并化简。

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解题步骤 6.1.1

计算 $e^{x}$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 ((e^{π}) - e^{0}) + 3 (- \cos (x)]_{0}^{π})$

解题步骤 6.1.2

计算 $- \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 (e^{π} - e^{0}) + 3 (- \cos (π) + \cos (0))$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$5 (e^{π} - 1 \cdot 1) + 3 (- \cos (π) + \cos (0))$

解题步骤 6.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 (e^{π} - 1) + 3 (- \cos (π) + \cos (0))$

解题步骤 6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$5 (e^{π} - 1) + 3 (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$5 e^{π} + 5 \cdot - 1 + 3 (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 7.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 e^{π} - 5 + 3 (- \cos (π) + 1)$

解题步骤 7.1.3

化简每一项。

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解题步骤 7.1.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$5 e^{π} - 5 + 3 (- - \cos (0) + 1)$

解题步骤 7.1.3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$5 e^{π} - 5 + 3 (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

解题步骤 7.1.3.3

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 7.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 e^{π} - 5 + 3 (- - 1 + 1)$

解题步骤 7.1.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$5 e^{π} - 5 + 3 (1 + 1)$

解题步骤 7.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 e^{π} - 5 + 3 \cdot 2$

解题步骤 7.1.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$5 e^{π} - 5 + 6$

解题步骤 7.2

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$5 e^{π} + 1$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$5 e^{π} + 1$

小数形式：

$116.70346316 \dots$

微积分学 示例

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