微积分学示例

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

解题步骤 2

使 $u = 5 - 4 \cos (t)$ 。然后使 $d u = 4 \sin (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 5 - 4 \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $5 - 4 \cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $5 - 4 \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4 \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 2.1.3.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$0 - 4 (- \sin (t))$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$0 + 4 \sin (t)$

解题步骤 2.1.4

将 $0$ 和 $4 \sin (t)$ 相加。

$4 \sin (t)$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 5 - 4 \cos (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 5 - 4$

解题步骤 2.3.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 5 - 4 \cos (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

解题步骤 2.5.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.5.1.3

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.5.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

解题步骤 2.5.1.3.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{upper} = 5 + 4$

解题步骤 2.5.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 3

组合 $u^{\frac{1}{4}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{4}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $9^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

解题步骤 7.2.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

解题步骤 8.2

合并。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

解题步骤 8.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

将 $- \frac{4}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

解题步骤 8.3.3

重写表达式。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

解题步骤 8.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 8.4.3

重写表达式。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

解题步骤 8.5

化简每一项。

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解题步骤 8.5.1

约去公因数。

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

解题步骤 8.5.2

重写表达式。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

解题步骤 8.5.3

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

解题步骤 8.5.4

用 $9^{\frac{5}{4}}$ 除以 $1$ 。

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

小数形式：

$14.58845726 \dots$

微积分学 示例

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