微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} - u^{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- 1}^{1} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 4

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $u^{\frac{4}{3}}$ 。

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{2}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ 。

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $u^{\frac{5}{3}}$ 。

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$2 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$2 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$2 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.3

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.5.1

约去公因数。

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.5.2

重写表达式。

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.6

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.8

在公分母上合并分子。

$2 \frac{3 - 3}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.9

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$2 (\frac{0}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.10

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.10.2.2

约去公因数。

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.10.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{0}{1}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$2 \cdot 0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.11

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.12

一的任意次幂都为一。

$0 - (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.13

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.14

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 7.2.3.15

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

解题步骤 7.2.3.16

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.16.1

约去公因数。

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

解题步骤 7.2.3.16.2

重写表达式。

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 7.2.3.17

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

解题步骤 7.2.3.18

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5})$

解题步骤 7.2.3.19

将负号移到分数的前面。

$0 - (\frac{3}{5} - - \frac{3}{5})$

解题步骤 7.2.3.20

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 7.2.3.21

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $1$ 。

$0 - (\frac{3}{5} + \frac{3}{5})$

解题步骤 7.2.3.22

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{3 + 3}{5}$

解题步骤 7.2.3.23

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$0 - \frac{6}{5}$

解题步骤 7.2.3.24

从 $0$ 中减去 $\frac{6}{5}$ 。

$- \frac{6}{5}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{6}{5}$

小数形式：

$- 1.2$

带分数形式：

$- 1 \frac{1}{5}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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