微积分学示例

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} + 3 x + 6 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{1}^{10} x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 \int_{1}^{10} x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $10$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $10$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 6 x]_{1}^{10}$

解题步骤 9.3

计算 $6 x$ 在 $10$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.2

一的任意次幂都为一。

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.3

在公分母上合并分子。

$3 \frac{1000 - 1}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.4

从 $1000$ 中减去 $1$ 。

$3 (\frac{999}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.5

约去 $999$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.5.1

从 $999$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{3 \cdot 333}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 (1)} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.5.2.2

约去公因数。

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.5.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{333}{1}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.5.2.4

用 $333$ 除以 $1$ 。

$3 \cdot 333 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.6

将 $3$ 乘以 $333$ 。

$999 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$999 + 3 (\frac{100}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.8

约去 $100$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.8.1

从 $100$ 中分解出因数 $2$ 。

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.8.2.2

约去公因数。

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.8.2.3

重写表达式。

$999 + 3 (\frac{50}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.8.2.4

用 $50$ 除以 $1$ 。

$999 + 3 (50 - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.9

一的任意次幂都为一。

$999 + 3 (50 - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10

要将 $50$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$999 + 3 (50 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.11

组合 $50$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$999 + 3 (\frac{50 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.12

在公分母上合并分子。

$999 + 3 \frac{50 \cdot 2 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.13

化简分子。

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解题步骤 9.4.13.1

将 $50$ 乘以 $2$ 。

$999 + 3 \frac{100 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.13.2

从 $100$ 中减去 $1$ 。

$999 + 3 (\frac{99}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.14

组合 $3$ 和 $\frac{99}{2}$ 。

$999 + \frac{3 \cdot 99}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.15

将 $3$ 乘以 $99$ 。

$999 + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.16

要将 $999$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$999 \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.17

组合 $999$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{999 \cdot 2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.18

在公分母上合并分子。

$\frac{999 \cdot 2 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.19

化简分子。

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解题步骤 9.4.19.1

将 $999$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1998 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.19.2

将 $1998$ 和 $297$ 相加。

$\frac{2295}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.20

将 $6$ 乘以 $10$ 。

$\frac{2295}{2} + 60 - 6 \cdot 1$

解题步骤 9.4.21

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2295}{2} + 60 - 6$

解题步骤 9.4.22

从 $60$ 中减去 $6$ 。

$\frac{2295}{2} + 54$

解题步骤 9.4.23

要将 $54$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2295}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.4.24

组合 $54$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2295}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

解题步骤 9.4.25

在公分母上合并分子。

$\frac{2295 + 54 \cdot 2}{2}$

解题步骤 9.4.26

化简分子。

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解题步骤 9.4.26.1

将 $54$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2295 + 108}{2}$

解题步骤 9.4.26.2

将 $2295$ 和 $108$ 相加。

$\frac{2403}{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2403}{2}$

小数形式：

$1201.5$

带分数形式：

$1201 \frac{1}{2}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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