微积分学示例

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} + 3 x d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} \frac{10}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 2

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$10 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$10 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$10 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$10 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$10 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 x d x$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 \int_{1}^{3} x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$10 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

计算 $- \frac{1}{2 x^{2}}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$10 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$10 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.3

一的任意次幂都为一。

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.5

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$10 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.7

在公分母上合并分子。

$10 \frac{- 1 + 9}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.8

将 $- 1$ 和 $9$ 相加。

$10 (\frac{8}{18}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.9

约去 $8$ 和 $18$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.9.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$10 \frac{2 (4)}{18} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.9.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.9.2.2

约去公因数。

$10 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.9.2.3

重写表达式。

$10 (\frac{4}{9}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.10

组合 $10$ 和 $\frac{4}{9}$ 。

$\frac{10 \cdot 4}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.11

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$\frac{40}{9} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.12

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

解题步骤 8.2.3.13

一的任意次幂都为一。

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 8.2.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{40}{9} + 3 \frac{9 - 1}{2}$

解题步骤 8.2.3.15

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{8}{2})$

解题步骤 8.2.3.16

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.16.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2}$

解题步骤 8.2.3.16.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.16.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 8.2.3.16.2.2

约去公因数。

$\frac{40}{9} + 3 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.16.2.3

重写表达式。

$\frac{40}{9} + 3 (\frac{4}{1})$

解题步骤 8.2.3.16.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{40}{9} + 3 \cdot 4$

解题步骤 8.2.3.17

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{40}{9} + 12$

解题步骤 8.2.3.18

要将 $12$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{40}{9} + 12 \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 8.2.3.19

组合 $12$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{40}{9} + \frac{12 \cdot 9}{9}$

解题步骤 8.2.3.20

在公分母上合并分子。

$\frac{40 + 12 \cdot 9}{9}$

解题步骤 8.2.3.21

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.21.1

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$\frac{40 + 108}{9}$

解题步骤 8.2.3.21.2

将 $40$ 和 $108$ 相加。

$\frac{148}{9}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{148}{9}$

小数形式：

$16.\overline{4}$

带分数形式：

$16 \frac{4}{9}$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例