微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x \ln ({(x)}^{p})} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x \ln (x^{p})}$ 重写为 $\frac{1}{x (p \ln (x))}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x (p \ln (x))} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{p}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{p}$ 移到积分外。

$\frac{1}{p} \int_{1}^{2} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

解题步骤 3

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (1)$

解题步骤 3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (2)$

解题步骤 3.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

解题步骤 3.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{p} \int_{0}^{\ln (2)} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{p} \ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{p}$ 和 $\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}$ 。

$\frac{\ln (| u |)]_{0}^{\ln (2)}}{p}$

解题步骤 6

计算 $\ln (| u |)$ 在 $\ln (2)$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{\ln (| \ln (2) |) - \ln (| 0 |)}{p}$

解题步骤 7

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{| 0 |})}{p}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

解题步骤 8.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{\ln (\frac{| \ln (2) |}{0})}{p}$

解题步骤 9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

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