微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{4 y^{2} - 7 y - 12}{y (y + 2) (y - 3)} d y$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $y (y + 2) (y - 3)$ 。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y (y + 2) (y - 3))}{y (y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.5

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) ((y + 2) (y - 3))}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.6

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(4 y^{2} - 7 y - 12) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $4 y^{2} - 7 y - 12$ 除以 $1$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = \frac{A (y (y + 2) (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $A ((y + 2) (y - 3))$ 除以 $1$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A ((y + 2) (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.2

使用 FOIL 方法展开 $(y + 2) (y - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.7.2.1

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y (y - 3) + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.2.2

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 (y - 3)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.2.3

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y \cdot y + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.3.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} + y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 3) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - 3 y + 2 y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.3.2

将 $- 3 y$ 和 $2 y$ 相加。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A (y^{2} - y - 6) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.4

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + A (- y) + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.5

化简。

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解题步骤 1.1.7.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y + A \cdot - 6 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.5.2

将 $- 6$ 移到 $A$ 的左侧。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.6

约去 $y + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.6.1

约去公因数。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 3))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.6.2

用 $(B) (y (y - 3))$ 除以 $1$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + (B) (y (y - 3)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.7

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y \cdot y + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.8

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} + y \cdot - 3) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.9

将 $- 3$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B (y^{2} - 3 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.10

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} + B (- 3 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.11

使用乘法的交换性质重写。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.12

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.12.1

约去公因数。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 3))}{y - 3}$

解题步骤 1.1.7.12.2

用 $(C) (y (y + 2))$ 除以 $1$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + (C) (y (y + 2))$

解题步骤 1.1.7.13

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

解题步骤 1.1.7.14

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

解题步骤 1.1.7.15

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

解题步骤 1.1.7.16

运用分配律。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + C (2 y)$

解题步骤 1.1.7.17

使用乘法的交换性质重写。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - A y - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

解题步骤 1.1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.8.1

移动 $A$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

解题步骤 1.1.8.2

将 $B$ 和 $y^{2}$ 重新排序。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 B y + C y^{2} + 2 C y$

解题步骤 1.1.8.3

移动 $B$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A - 6 A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y$

解题步骤 1.1.8.4

移动 $- 6 A$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} - 3 y B + C y^{2} + 2 C y - 6 A$

解题步骤 1.1.8.5

移动 $- 3 y B$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} - y A + B y^{2} + C y^{2} - 3 y B + 2 C y - 6 A$

解题步骤 1.1.8.6

移动 $- y A$ 。

$4 y^{2} - 7 y - 12 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - y A - 3 y B + 2 C y - 6 A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $y^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = A + B + C$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $y$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $y$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 12 = - 6 A$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$- 12 = - 6 A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $- 12 = - 6 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $- 6 A = - 12$ 。

$- 6 A = - 12$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 6 A = - 12$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $- 6 A = - 12$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 A}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = \frac{- 12}{- 6}$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1.2.3.1

用 $- 12$ 除以 $- 6$ 。

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$4 = A + B + C$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $2$ 替换 $4 = A + B + C$ 中所有出现的 $A$ .

$4 = (2) + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

去掉圆括号。

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2$ 替换 $- 7 = - 1 A - 3 B + 2 C$ 中所有出现的 $A$ .

$- 7 = - 1 \cdot 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$4 = 2 + B + C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.3

在 $4 = 2 + B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $2 + B + C = 4$ 。

$2 + B + C = 4$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$B + C = 4 - 2$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.3.2.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = 4 - 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.3.2.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

$B = 2 - C$

$- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2 - C$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $2 - C$ 替换 $- 7 = - 2 - 3 B + 2 C$ 中所有出现的 $B$ .

$- 7 = - 2 - 3 (2 - C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $- 2 - 3 (2 - C) + 2 C$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$- 7 = - 2 - 3 \cdot 2 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.4.2.1.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 7 = - 2 - 6 - 3 (- C) + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.4.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 2 - 6 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.3.4.2.1.2.1

从 $- 2$ 中减去 $6$ 。

$- 7 = - 8 + 3 C + 2 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.4.2.1.2.2

将 $3 C$ 和 $2 C$ 相加。

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$- 7 = - 8 + 5 C$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.5

在 $- 7 = - 8 + 5 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

将方程重写为 $- 8 + 5 C = - 7$ 。

$- 8 + 5 C = - 7$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$5 C = - 7 + 8$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.5.2.2

将 $- 7$ 和 $8$ 相加。

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$5 C = 1$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.5.3

将 $5 C = 1$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 1.3.5.3.1

将 $5 C = 1$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 C}{5} = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.5.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

$C = \frac{1}{5}$

$B = 2 - C$

$A = 2$

解题步骤 1.3.6

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $\frac{1}{5}$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $\frac{1}{5}$ 替换 $B = 2 - C$ 中所有出现的 $C$ .

$B = 2 - (\frac{1}{5})$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

解题步骤 1.3.6.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

化简 $2 - (\frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 1.3.6.2.1.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$B = 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

解题步骤 1.3.6.2.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$B = \frac{2 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

解题步骤 1.3.6.2.1.3

在公分母上合并分子。

$B = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

解题步骤 1.3.6.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.2.1.4.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$B = \frac{10 - 1}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

解题步骤 1.3.6.2.1.4.2

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

$B = \frac{9}{5}$

$C = \frac{1}{5}$

$A = 2$

解题步骤 1.3.7

列出所有解。

$B = \frac{9}{5}, C = \frac{1}{5}, A = 2$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{2}{y} + \frac{\frac{9}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{9}{5}$ 乘以 $\frac{1}{y + 2}$ 。

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

解题步骤 1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

解题步骤 1.5.4

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{y - 3}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} + \frac{9}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{2} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

解题步骤 4

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{9}{5 (y + 2)} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

解题步骤 5

由于 $\frac{9}{5}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{9}{5}$ 移到积分外。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y + 2} d y + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

解题步骤 6

使 $u_{1} = y + 2$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = y + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 6.1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u_{1} = y + 2$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 1 + 2$

解题步骤 6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u_{1} = y + 2$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 2 + 2$

解题步骤 6.5

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 6.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

解题步骤 7

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \int_{1}^{2} \frac{1}{5 (y - 3)} d y$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{1}^{2} \frac{1}{y - 3} d y$

解题步骤 9

使 $u_{2} = y - 3$ 。然后使 $d u_{2} = d y$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = y - 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $y - 3$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $y - 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

解题步骤 9.1.4

因为 $- 3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 9.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 9.2

将下限代入替换 $u_{2} = y - 3$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 1 - 3$

解题步骤 9.3

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$u_{lower} = - 2$

解题步骤 9.4

将上限代入替换 $u_{2} = y - 3$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 2 - 3$

解题步骤 9.5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 9.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 9.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{2}) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\ln (| y |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{4} + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

解题步骤 11.2

计算 $\ln (| u_{1} |)$ 在 $4$ 处和在 $3$ 处的值。

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1}$

解题步骤 11.3

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $- 1$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

解题步骤 11.4

去掉圆括号。

$2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

解题步骤 12.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9}{5} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |}) + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{9}{5}$ 和 $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ 。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

解题步骤 12.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{1}{5} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

解题步骤 12.5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ 。

$2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$2 \ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

解题步骤 13.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 \ln (\frac{2}{1}) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

解题步骤 13.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

解题步骤 13.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{| 3 |})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

解题步骤 13.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{5}$

解题步骤 13.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{5}$

解题步骤 13.7

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln (2) + \frac{9 \ln (\frac{4}{3})}{5} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{5}$

小数形式：

$1.76549265 \dots$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例