微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

解题步骤 1

使 $u = 3 x^{2} - x$ 。然后使 $d u = (6 x - 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 x^{2} - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 x^{2} - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 x - 1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 3 x^{2} - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 3 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 3 x^{2} - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 12 - 2$

解题步骤 1.5.2

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 10$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

解题步骤 3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $10$ 处和在 $2$ 处的值。

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

解题步骤 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $10$ 之间的距离为 $10$ 。

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

解题步骤 5.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\ln (\frac{10}{2})$

解题步骤 5.3

用 $10$ 除以 $2$ 。

$\ln (5)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (5)$

小数形式：

$1.60943791 \dots$

解题步骤 7

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