微积分学示例

$\int_{1}^{3} p \ln^{2} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $p$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $p$ 移到积分外。

$p \int_{1}^{3} \ln^{2} (x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln^{2} (x)$ ， $d v = 1$ 。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $x$ 和 $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ 。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

解题步骤 3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x)$

解题步骤 3.2.2

用 $\ln (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \ln (x^{2}) d x)$

解题步骤 4

将 $\ln (x^{2})$ 重写为 $2 \ln (x)$ 。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} 2 \ln (x) d x)$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - (2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x))$

解题步骤 6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 \int_{1}^{3} \ln (x) d x)$

解题步骤 7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} x \frac{1}{x} d x))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

解题步骤 8.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{x}{x} d x))$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} d x))$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$p (\ln^{2} (x) x]_{1}^{3} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\ln^{2} (x) x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{3} - (x]_{1}^{3})))$

解题步骤 10.2

计算 $\ln (x) x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{3})))$

解题步骤 10.3

计算 $x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$p ((\ln^{2} (3) \cdot 3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

将 $3$ 移到 $\ln^{2} (3)$ 的左侧。

$p (3 \cdot \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

解题步骤 10.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (3) \cdot 3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

解题步骤 10.4.3

将 $3$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \cdot \ln (3) - \ln (1) \cdot 1 - ((3) - 1)))$

解题步骤 10.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - ((3) - 1)))$

解题步骤 10.4.5

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 1 \cdot 2))$

解题步骤 10.4.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) - \ln^{2} (1) - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) - 0^{2} - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

解题步骤 11.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) - 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

解题步骤 11.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - \ln (1) - 2))$

解题步骤 11.1.4

化简每一项。

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解题步骤 11.1.4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 0 - 2))$

解题步骤 11.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) + 0 - 2))$

解题步骤 11.1.5

将 $3 \ln (3)$ 和 $0$ 相加。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3) - 2))$

解题步骤 11.1.6

运用分配律。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 2 (3 \ln (3)) - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 11.1.7

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 11.1.8

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$p (3 \ln^{2} (3) + 0 - 6 \ln (3) + 4)$

解题步骤 11.2

将 $3 \ln^{2} (3)$ 和 $0$ 相加。

$p (3 \ln^{2} (3) - 6 \ln (3) + 4)$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$p (3 \ln^{2} (3)) + p (- 6 \ln (3)) + p \cdot 4$

解题步骤 11.4

将 $4$ 移到 $p$ 的左侧。

$p \cdot 3 \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 \cdot p$

解题步骤 11.5

将 $3$ 移到 $p$ 的左侧。

$3 p \ln^{2} (3) + p (- 6 \ln (3)) + 4 p$

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