微积分学示例

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

解题步骤 1

由于 $9$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (r)$ ， $d v = r^{3}$ 。

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $r^{4}$ 。

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

解题步骤 3.2

组合 $\ln (r)$ 和 $\frac{r^{4}}{4}$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $r^{4}$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

解题步骤 3.4

将 $\frac{r^{4}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{r}$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

解题步骤 3.5

约去 $r^{4}$ 和 $r$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

从 $r^{4}$ 中分解出因数 $r$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

从 $4 r$ 中分解出因数 $r$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

解题步骤 5

根据幂法则， $r^{3}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{4} r^{4}$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

解题步骤 6

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $r^{4}$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

解题步骤 6.1.2

组合 $\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

解题步骤 6.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

计算 $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

解题步骤 6.2.2

计算 $\frac{r^{4}}{4}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.2

将 $81$ 移到 $\ln (3)$ 的左侧。

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.3

一的任意次幂都为一。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.4

将 $\ln (1)$ 乘以 $1$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.6

一的任意次幂都为一。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.7

在公分母上合并分子。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.8

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9

约去 $80$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.9.1

从 $80$ 中分解出因数 $4$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2.2

约去公因数。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2.3

重写表达式。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

解题步骤 6.2.3.9.2.4

用 $20$ 除以 $1$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

解题步骤 6.2.3.10

约去 $20$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.10.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

解题步骤 6.2.3.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

解题步骤 6.2.3.10.2.2

约去公因数。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.3.10.2.3

重写表达式。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

解题步骤 6.2.3.10.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

解题步骤 6.2.3.11

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

解题步骤 7.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

解题步骤 7.3

将 $81 \ln (3)$ 和 $0$ 相加。

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

解题步骤 7.5

将 $9$ 乘以 $- 5$ 。

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

解题步骤 7.6

乘以 $9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.6.1

组合 $9$ 和 $\frac{81 \ln (3)}{4}$ 。

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

解题步骤 7.6.2

将 $81$ 乘以 $9$ 。

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

小数形式：

$155.22208960 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例