微积分学示例

$\int_{1}^{4} \frac{8 \ln^{3} (x)}{x} d x$

解题步骤 1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{3} (x)}{x} d x$

解题步骤 2

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (1)$

解题步骤 2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (4)$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$8 \int_{0}^{\ln (4)} u^{3} d u$

$8 \int_{0}^{\ln (4)} u^{3} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$8 (\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{\ln (4)})$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$8 (\frac{u^{4}}{4}]_{0}^{\ln (4)})$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{u^{4}}{4}$ 在 $\ln (4)$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 ((\frac{\ln^{4} (4)}{4}) - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{4})$

解题步骤 5.2.2

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - \frac{0}{1})$

解题步骤 5.2.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - 0)$

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - 0)$

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} - 0)$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 (\frac{\ln^{4} (4)}{4} + 0)$

解题步骤 5.2.4

将 $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ 和 $0$ 相加。

$8 \frac{\ln^{4} (4)}{4}$

解题步骤 5.2.5

组合 $8$ 和 $\frac{\ln^{4} (4)}{4}$ 。

$\frac{8 \ln^{4} (4)}{4}$

解题步骤 5.2.6

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $8 \ln^{4} (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4}$

解题步骤 5.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 (1)}$

解题步骤 5.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (2 \ln^{4} (4))}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \ln^{4} (4)}{1}$

解题步骤 5.2.6.2.4

用 $2 \ln^{4} (4)$ 除以 $1$ 。

$2 \ln^{4} (4)$

$2 \ln^{4} (4)$

$2 \ln^{4} (4)$

$2 \ln^{4} (4)$

$2 \ln^{4} (4)$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln^{4} (4)$

小数形式：

$7.38672315 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$