微积分学示例

$\int_{2}^{3} 8 x (x^{2} - 5) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} - 5$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} - 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} - 5$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2^{2} - 5$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 4 - 5$

解题步骤 1.3.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} - 5$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3^{2} - 5$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 9 - 5$

解题步骤 1.5.2

从 $9$ 中减去 $5$ 。

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 4$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{4} 4 u d u$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{- 1}^{4} u d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{4})$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{4})$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{u^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$4 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (8 - \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.5

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.6

在公分母上合并分子。

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 5.2.7

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{16 - 1}{2}$

解题步骤 5.2.7.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{15}{2})$

解题步骤 5.2.8

组合 $4$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 15}{2}$

解题步骤 5.2.9

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$\frac{60}{2}$

解题步骤 5.2.10

约去 $60$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.10.1

从 $60$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 30}{2}$

解题步骤 5.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)}$

解题步骤 5.2.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.10.2.3

重写表达式。

$\frac{30}{1}$

解题步骤 5.2.10.2.4

用 $30$ 除以 $1$ 。

$30$

解题步骤 6

微积分学 示例

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