微积分学示例

$\int_{2}^{4} \sqrt{1 x^{4}} d x + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1

计算 $\int_{2}^{4} \sqrt{1 x^{4}} d x$ 。

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解题步骤 1.1

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{2}^{4} \sqrt{x^{4}} d x + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{4}}$ 重写成 $x^{\frac{4}{2}}$ 。

$\int_{2}^{4} x^{\frac{4}{2}} d x + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.1.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$\int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3

代入并化简。

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解题步骤 1.3.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2

化简。

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解题步骤 1.3.2.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2.4

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{64}{3} - 8 (\frac{1}{3}) + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2.5

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{64}{3} + \frac{- 8}{3} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{64}{3} - \frac{8}{3} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{64 - 8}{3} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 1.3.2.8

从 $64$ 中减去 $8$ 。

$\frac{56}{3} + \int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$

解题步骤 2

计算 $\int_{2}^{4} \sqrt{3} d x$ 。

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解题步骤 2.1

应用常数不变法则。

$\frac{56}{3} + \sqrt{3} x]_{2}^{4}$

解题步骤 2.2

代入并化简。

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解题步骤 2.2.1

计算 $\sqrt{3} x$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{56}{3} + (\sqrt{3} \cdot 4) - \sqrt{3} \cdot 2$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $4$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{56}{3} + 4 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{56}{3} + 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.2.3

从 $4 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$\frac{56}{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{56}{3} + 2 \sqrt{3}$

小数形式：

$22.13076828 \dots$

微积分学 示例

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