微积分学示例

$\int_{2}^{4} \frac{w^{4} - w}{w^{3}} d w$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

化简。

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解题步骤 1.1.1

从 $w^{4} - w$ 中分解出因数 $w$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $w^{4}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} - w}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.1.2

从 $- w$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int_{2}^{4} \frac{w \cdot w^{3} + w \cdot - 1}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.1.3

从 $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

从 $w^{3}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

解题步骤 1.1.2.2

约去公因数。

$\int_{2}^{4} \frac{w (w^{3} - 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

解题步骤 1.1.2.3

重写表达式。

$\int_{2}^{4} \frac{w^{3} - 1}{w^{2}} d w$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

通过将 $w^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

解题步骤 1.2.2

将 ${(w^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

解题步骤 1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{2}^{4} (w^{3} - 1) w^{- 2} d w$

解题步骤 2

乘以 $(w^{3} - 1) w^{- 2}$ 。

$\int_{2}^{4} w^{3} w^{- 2} - 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $w^{3}$ 乘以 $w^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{2}^{4} w^{3 - 2} - 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.1.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int_{2}^{4} w^{1} - 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.2

化简 $w^{1}$ 。

$\int_{2}^{4} w - 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.3

将 $- 1 w^{- 2}$ 重写为 $- w^{- 2}$ 。

$\int_{2}^{4} w - w^{- 2} d w$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{4} w d w + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

解题步骤 5

根据幂法则， $w$ 对 $w$ 的积分是 $\frac{1}{2} w^{2}$ 。

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - w^{- 2} d w$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $w$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} w^{- 2} d w$

解题步骤 7

根据幂法则， $w^{- 2}$ 对 $w$ 的积分是 $- w^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} w^{2}]_{2}^{4} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{1}{2} w^{2}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- w^{- 1}]_{2}^{4})$

解题步骤 8.2

计算 $- w^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $16$ 。

$\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.3

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.3.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$8 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 4 (\frac{1}{2}) - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.6

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$8 + \frac{- 4}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.7

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.7.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2.2

约去公因数。

$8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2.3

重写表达式。

$8 + \frac{- 2}{1} - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.7.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$8 - 2 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.8

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$6 - (- 4^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 - (- \frac{1}{4} + 2^{- 1})$

解题步骤 8.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

解题步骤 8.3.11

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 8.3.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 8.3.12.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

解题步骤 8.3.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

解题步骤 8.3.13

在公分母上合并分子。

$6 - \frac{- 1 + 2}{4}$

解题步骤 8.3.14

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$6 - \frac{1}{4}$

解题步骤 8.3.15

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 8.3.16

组合 $6$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 8.3.17

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \cdot 4 - 1}{4}$

解题步骤 8.3.18

化简分子。

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解题步骤 8.3.18.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{24 - 1}{4}$

解题步骤 8.3.18.2

从 $24$ 中减去 $1$ 。

$\frac{23}{4}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{23}{4}$

小数形式：

$5.75$

带分数形式：

$5 \frac{3}{4}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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