微积分学示例

$\int_{2}^{5} 2 + 2 t + 3 t^{2} d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{5} 2 d t + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$2 t]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 t]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} t^{2} d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{5})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

解题步骤 8.2

代入并化简。

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解题步骤 8.2.1

计算 $2 t$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$(2 \cdot 5) - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

解题步骤 8.2.2

计算 $\frac{t^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

解题步骤 8.2.3

计算 $\frac{t^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4

化简。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$10 - 4 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.3

从 $10$ 中减去 $4$ 。

$6 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.6

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.6.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.6.2.2

约去公因数。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.6.2.3

重写表达式。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.6.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.8

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.9

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.10

在公分母上合并分子。

$6 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.11

化简分子。

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解题步骤 8.2.4.11.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$6 + 2 \frac{25 - 4}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.11.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$6 + 2 (\frac{21}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.12

组合 $2$ 和 $\frac{21}{2}$ 。

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.13

将 $2$ 乘以 $21$ 。

$6 + \frac{42}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.14

约去 $42$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.14.1

从 $42$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.14.2.2

约去公因数。

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.14.2.3

重写表达式。

$6 + \frac{21}{1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.14.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$6 + 21 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.15

将 $6$ 和 $21$ 相加。

$27 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.16

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

解题步骤 8.2.4.17

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

解题步骤 8.2.4.18

在公分母上合并分子。

$27 + 3 \frac{125 - 8}{3}$

解题步骤 8.2.4.19

从 $125$ 中减去 $8$ 。

$27 + 3 (\frac{117}{3})$

解题步骤 8.2.4.20

约去 $117$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.4.20.1

从 $117$ 中分解出因数 $3$ 。

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3}$

解题步骤 8.2.4.20.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.4.20.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)}$

解题步骤 8.2.4.20.2.2

约去公因数。

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.4.20.2.3

重写表达式。

$27 + 3 (\frac{39}{1})$

解题步骤 8.2.4.20.2.4

用 $39$ 除以 $1$ 。

$27 + 3 \cdot 39$

解题步骤 8.2.4.21

将 $3$ 乘以 $39$ 。

$27 + 117$

解题步骤 8.2.4.22

将 $27$ 和 $117$ 相加。

$144$

解题步骤 9

微积分学 示例

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