微积分学示例

$\int_{2}^{5} (2 - x) (x - 5) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int_{2}^{5} 2 (x - 5) - x (x - 5) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x (x - 5) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x \cdot x - x \cdot - 5 d x$

解题步骤 1.4

移动 $x$ 。

$\int_{2}^{5} 2 x + 2 \cdot - 5 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x d x$

解题步骤 1.5

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x \cdot x - 1 \cdot - 5 x d x$

解题步骤 1.6

提取负因数。

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x \cdot x) - 1 \cdot - 5 x d x$

解题步骤 1.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x^{1} x) - 1 \cdot - 5 x d x$

解题步骤 1.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - (x^{1} x^{1}) - 1 \cdot - 5 x d x$

解题步骤 1.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{1 + 1} - 1 \cdot - 5 x d x$

解题步骤 1.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{2} - 1 \cdot - 5 x d x$

解题步骤 1.11

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\int_{2}^{5} 2 x - 10 - x^{2} + 5 x d x$

解题步骤 1.12

移动 $- 10$ 。

$\int_{2}^{5} 2 x - x^{2} + 5 x - 10 d x$

解题步骤 1.13

移动 $2 x$ 。

$\int_{2}^{5} - x^{2} + 5 x + 2 x - 10 d x$

解题步骤 1.14

将 $5 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\int_{2}^{5} - x^{2} + 7 x - 10 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{5} - x^{2} d x + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

解题步骤 6

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} - 10 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - 10 d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - 10 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + - 10 x]_{2}^{5}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$- ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + - 10 x]_{2}^{5}$

解题步骤 10.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 10 x]_{2}^{5}$

解题步骤 10.3

计算 $- 10 x$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$- (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4

化简。

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解题步骤 10.4.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- (\frac{125}{3} - \frac{8}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{125 - 8}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.4

从 $125$ 中减去 $8$ 。

$- \frac{117}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.5

约去 $117$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.5.1

从 $117$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \cdot 39}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 \cdot 39}{3 (1)} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{39}{1} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.5.2.4

用 $39$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 39 + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.6

将 $- 1$ 乘以 $39$ 。

$- 39 + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 10.4.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.9.2.2

约去公因数。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.9.2.3

重写表达式。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.9.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.10

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 2) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.11

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.12

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 39 + 7 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.13

在公分母上合并分子。

$- 39 + 7 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.14

化简分子。

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解题步骤 10.4.14.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 39 + 7 \frac{25 - 4}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.14.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$- 39 + 7 (\frac{21}{2}) + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.15

组合 $7$ 和 $\frac{21}{2}$ 。

$- 39 + \frac{7 \cdot 21}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.16

将 $7$ 乘以 $21$ 。

$- 39 + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.17

要将 $- 39$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 39 \cdot \frac{2}{2} + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.18

组合 $- 39$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 39 \cdot 2}{2} + \frac{147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.19

在公分母上合并分子。

$\frac{- 39 \cdot 2 + 147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.20

化简分子。

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解题步骤 10.4.20.1

将 $- 39$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 78 + 147}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.20.2

将 $- 78$ 和 $147$ 相加。

$\frac{69}{2} + (- 10 \cdot 5) + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.21

将 $- 10$ 乘以 $5$ 。

$\frac{69}{2} - 50 + 10 \cdot 2$

解题步骤 10.4.22

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{69}{2} - 50 + 20$

解题步骤 10.4.23

将 $- 50$ 和 $20$ 相加。

$\frac{69}{2} - 30$

解题步骤 10.4.24

要将 $- 30$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{69}{2} - 30 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 10.4.25

组合 $- 30$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{69}{2} + \frac{- 30 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.4.26

在公分母上合并分子。

$\frac{69 - 30 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.4.27

化简分子。

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解题步骤 10.4.27.1

将 $- 30$ 乘以 $2$ 。

$\frac{69 - 60}{2}$

解题步骤 10.4.27.2

从 $69$ 中减去 $60$ 。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9}{2}$

小数形式：

$4.5$

带分数形式：

$4 \frac{1}{2}$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例