微积分学示例

$\int_{2}^{3} 1 + 2 e^{- 0.4 x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} d x + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 2 e^{- 0.4 x} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{2}^{3} e^{- 0.4 x} d x$

解题步骤 4

使 $u = - 0.4 x$ 。然后使 $d u = - 0.4 d x$ ，以便 $\frac{1}{- 0.4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = - 0.4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 0.4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 0.4 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $- 0.4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 0.4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.4 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 0.4$ 乘以 $1$ 。

$- 0.4$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = - 0.4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0.4 \cdot 2$

解题步骤 4.3

将 $- 0.4$ 乘以 $2$ 。

$u_{lower} = - 0.8$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = - 0.4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 0.4 \cdot 3$

解题步骤 4.5

将 $- 0.4$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = - 1.2$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 0.8$

$u_{upper} = - 1.2$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} \frac{1}{- 0.4} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将负号移到分数的前面。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} (- \frac{1}{0.4}) d u$

解题步骤 5.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.4}$ 。

$x]_{2}^{3} + 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} - \frac{e^{u}}{0.4} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x]_{2}^{3} + 2 (- \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u)$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x]_{2}^{3} - 2 \int_{- 0.8}^{- 1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{0.4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.4}$ 移到积分外。

$x]_{2}^{3} - 2 (\frac{1}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{0.4}$ 和 $- 2$ 。

$x]_{2}^{3} + \frac{- 2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

解题步骤 9.2

将负号移到分数的前面。

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} \int_{- 0.8}^{- 1.2} e^{u} d u$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x]_{2}^{3} - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $x$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} e^{u}]_{- 0.8}^{- 1.2}$

解题步骤 11.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 1.2$ 处和在 $- 0.8$ 处的值。

$(3) - 2 - \frac{2}{0.4} ((e^{- 1.2}) - e^{- 0.8})$

解题步骤 11.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$1 - \frac{2}{0.4} (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

用 $2$ 除以 $0.4$ 。

$1 - 1 \cdot 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

解题步骤 12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$1 - 5 (e^{- 1.2} - e^{- 0.8})$

解题步骤 12.1.3

运用分配律。

$1 - 5 e^{- 1.2} - 5 (- e^{- 0.8})$

解题步骤 12.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$1 - 5 e^{- 1.2} + 5 e^{- 0.8}$

解题步骤 12.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - 5 \frac{1}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

解题步骤 12.2.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{e^{1.2}}$ 。

$1 + \frac{- 5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

解题步骤 12.2.3

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 e^{- 0.8}$

解题步骤 12.2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + 5 \frac{1}{e^{0.8}}$

解题步骤 12.2.5

组合 $5$ 和 $\frac{1}{e^{0.8}}$ 。

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 - \frac{5}{e^{1.2}} + \frac{5}{e^{0.8}}$

小数形式：

$1.74067376 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

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