微积分学示例

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 2

由于 $0.1$ 对于 $a$ 是常数，所以将 $0.1$ 移到积分外。

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 3

使 $u = - 0.1 a$ 。然后使 $d u = - 0.1 d a$ ，以便 $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = - 0.1 a$ 。求 $\frac{d u}{d a}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 0.1 a$ 求导。

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

解题步骤 3.1.2

因为 $- 0.1$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 0.1 a$ 对 $a$ 的导数是 $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ 。

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.1 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $- 0.1$ 乘以 $1$ 。

$- 0.1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = - 0.1 a$ 中的 $a$ 。

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

解题步骤 3.3

将 $- 0.1$ 乘以 $2$ 。

$u_{lower} = - 0.2$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = - 0.1 a$ 中的 $a$ 。

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

解题步骤 3.5

将 $- 0.1$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = - 0.3$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 4.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.1}$ 。

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $0.1$ 。

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{0.1}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.1}$ 移到积分外。

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{0.1}$ 和 $- 0.1$ 。

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 8.2

约去 $- 0.1$ 和 $0.1$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 0.1$ 重写为 $- 1 (0.1)$ 。

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 8.2.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $a$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

解题步骤 11

$\frac{1}{a}$ 对 $a$ 的积分为 $\ln (| a |)$ 。

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 0.3$ 处和在 $- 0.2$ 处的值。

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

解题步骤 12.2

计算 $\ln (| a |)$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 12.3

去掉圆括号。

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 13

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

解题步骤 14.3

乘以 $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ 。

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解题步骤 14.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

解题步骤 14.3.2

将 $\frac{1}{e^{0.2}}$ 乘以 $1$ 。

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

解题步骤 14.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

解题步骤 14.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

解题步骤 14.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

小数形式：

$0.88884274 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

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